問題6は、与えられた行列式の値を基本変形または余因子展開を用いて計算する問題です。問題7は、$n$次正方行列の行列式$D_n$が与えられ、その漸化式を求め、それを解いて$D_n$を$n$の式で表す問題です。

1. 問題の内容

問題6は、与えられた行列式の値を基本変形または余因子展開を用いて計算する問題です。問題7は、$n$次正方行列の行列式$D_n$が与えられ、その漸化式を求め、それを解いて$D_n$を$n$の式で表す問題です。

2. 解き方の手順

問題6 (1):

与えられた行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 0 & 0 \\

1 & 2 & 1 & 0 \\

0 & 1 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 2

\end{vmatrix}

$$

1行目で余因子展開すると、

$2\begin{vmatrix}2 & 1 & 0 \\1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{vmatrix}$

$= 2(2(4-1) - 1(2-0)) - 1(1(4-1)) = 2(6-2) - 3 = 8 - 3 = 5$

問題6 (2):

与えられた行列式を計算します。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 3 & 1 \\

5 & 0 & 2 & 4 \\

1 & 3 & 2 & -1 \\

6 & 2 & 0 & 3

\end{vmatrix}

$$

3列目で余因子展開すると、

$3(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}5 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & -1 \\ 6 & 2 & 3\end{vmatrix} + 2(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 6 & 2 & 3\end{vmatrix}$

$= 3(5(9+2) - 0 + 4(2-18)) - 2(2(9+2) - 1(3+6) + 1(2-18))$

$= 3(55 - 64) - 2(22 - 9 - 16) = 3(-9) - 2(-3) = -27 + 6 = -21$

問題6のヒントから、5 + (-21) = -16。これは-10ではないので、計算ミスがある。もう一度計算する。

$$

\begin{vmatrix}

2 & 1 & 3 & 1 \\

5 & 0 & 2 & 4 \\

1 & 3 & 2 & -1 \\

6 & 2 & 0 & 3

\end{vmatrix}

$$

3行目で余因子展開すると、

$1(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \\ 2 & 0 & 3\end{vmatrix} + 3(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2 & 3 & 1 \\ 5 & 2 & 4 \\ 6 & 0 & 3\end{vmatrix} + 2(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}2 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 4 \\ 6 & 2 & 3\end{vmatrix} + (-1)(-1)^{3+4}\begin{vmatrix}2 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & 2 \\ 6 & 2 & 0\end{vmatrix}$

$= (1(6-0) - 3(0-8) + 1(0-4)) - 3(2(6-0) - 3(15-24) + 1(0-12)) + 2(2(0-8) - 1(15-24) + 1(10-0)) + (2(0-4) - 1(0-12) + 3(10-0))$

$= (6+24-4) - 3(12+27-12) + 2(-16+9+10) + (-8+12+30)$

$= 26 - 3(27) + 2(3) + 34 = 26 - 81 + 6 + 34 = -15$

よって5 + (-15) = -10になり、ヒントの条件を満たす。

問題7 (1):

$D_n = \begin{vmatrix}

2 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\

-1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots \\

\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\

0 & \cdots & 0 & -1 & 2 & -1 \\

0 & \cdots & 0 & 0 & -1 & 2

\end{vmatrix}$

1行目で余因子展開すると、

$D_n = 2D_{n-1} - (-1)\begin{vmatrix}

-1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\

0 & 2 & -1 & \cdots & 0 \\

0 & -1 & 2 & \ddots & \vdots \\

\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\

0 & \cdots & 0 & -1 & 2

\end{vmatrix}$

右の行列は1列目で余因子展開すると、

$D_n = 2D_{n-1} - (-1)(-1)D_{n-2} = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

したがって、漸化式は$D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

問題7 (2):

$D_n - D_{n-1}$ は $n$ によらない定数になるというヒントがあります。

$D_1 = 2$

$D_2 = \begin{vmatrix}2 & -1 \\ -1 & 2\end{vmatrix} = 4-1 = 3$

$D_3 = \begin{vmatrix}2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2\end{vmatrix} = 2(4-1) - (-1)(-2-0) = 6-2 = 4$

$D_n - D_{n-1} = 1$であると予想される。

$D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2} = 1$

$D_n = n+1$であることを数学的帰納法で示す。

$n=1$のとき、$D_1 = 1+1 = 2$なので正しい。

$n=k$のとき、$D_k = k+1$と仮定する。

$D_{k+1} = 2D_k - D_{k-1} = 2(k+1) - k = 2k+2-k = k+2$

したがって、$D_n = n+1$

3. 最終的な答え

問題6 (1): 5

問題6 (2): -15

問題7 (1): $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$

問題7 (2): $D_n = n+1$