問題6 (1):
与えられた行列式を計算します。
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 2
\end{vmatrix}
1行目で余因子展開すると、
2210121012−1100121012 =2(2(4−1)−1(2−0))−1(1(4−1))=2(6−2)−3=8−3=5 問題6 (2):
与えられた行列式を計算します。
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
5 & 0 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 2 & -1 \\
6 & 2 & 0 & 3
\end{vmatrix}
3列目で余因子展開すると、
3(−1)1+35160324−13+2(−1)2+32161321−13 =3(5(9+2)−0+4(2−18))−2(2(9+2)−1(3+6)+1(2−18)) =3(55−64)−2(22−9−16)=3(−9)−2(−3)=−27+6=−21 問題6のヒントから、5 + (-21) = -16。これは-10ではないので、計算ミスがある。もう一度計算する。
\begin{vmatrix}
2 & 1 & 3 & 1 \\
5 & 0 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 2 & -1 \\
6 & 2 & 0 & 3
\end{vmatrix}
3行目で余因子展開すると、
1(−1)3+1102320143+3(−1)3+2256320143+2(−1)3+3256102143+(−1)(−1)3+4256102320 =(1(6−0)−3(0−8)+1(0−4))−3(2(6−0)−3(15−24)+1(0−12))+2(2(0−8)−1(15−24)+1(10−0))+(2(0−4)−1(0−12)+3(10−0)) =(6+24−4)−3(12+27−12)+2(−16+9+10)+(−8+12+30) =26−3(27)+2(3)+34=26−81+6+34=−15 よって5 + (-15) = -10になり、ヒントの条件を満たす。
問題7 (1):
$D_n = \begin{vmatrix}
2 & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
-1 & 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & \cdots & 0 & 0 & -1 & 2
\end{vmatrix}$
1行目で余因子展開すると、
$D_n = 2D_{n-1} - (-1)\begin{vmatrix}
-1 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 2 & -1 & \cdots & 0 \\
0 & -1 & 2 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & -1 \\
0 & \cdots & 0 & -1 & 2
\end{vmatrix}$
右の行列は1列目で余因子展開すると、
Dn=2Dn−1−(−1)(−1)Dn−2=2Dn−1−Dn−2 したがって、漸化式はDn=2Dn−1−Dn−2 問題7 (2):
Dn−Dn−1 は n によらない定数になるというヒントがあります。 D2=2−1−12=4−1=3 D3=2−10−12−10−12=2(4−1)−(−1)(−2−0)=6−2=4 Dn−Dn−1=1であると予想される。 Dn−Dn−1=Dn−1−Dn−2=1 Dn=n+1であることを数学的帰納法で示す。 n=1のとき、D1=1+1=2なので正しい。 n=kのとき、Dk=k+1と仮定する。 Dk+1=2Dk−Dk−1=2(k+1)−k=2k+2−k=k+2 したがって、Dn=n+1