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$x+y+z=2$ と $xy+yz+zx=1$ が与えられたとき、$x^2+y^2+z^2$ の値を求める問題です。

代数学多項式の展開対称式式の値
2025/6/15

1. 問題の内容

x+y+z=2x+y+z=2 と xy+yz+zx=1xy+yz+zx=1 が与えられたとき、x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、(x+y+z)2(x+y+z)^2 を展開します。
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)
問題文より、x+y+z=2x+y+z=2 なので、
(x+y+z)2=22=4(x+y+z)^2 = 2^2 = 4
また、xy+yz+zx=1xy+yz+zx=1 なので、
2(xy+yz+zx)=2×1=22(xy+yz+zx) = 2 \times 1 = 2
したがって、
4=x2+y2+z2+24 = x^2 + y^2 + z^2 + 2
x2+y2+z2=4−2x^2 + y^2 + z^2 = 4 - 2
x2+y2+z2=2x^2 + y^2 + z^2 = 2

3. 最終的な答え

x2+y2+z2=2x^2+y^2+z^2 = 2

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