与えられた数の分母を有理化する問題です。与えられた数は $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数の分母を有理化する問題です。与えられた数は $\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、$1 + \sqrt{2}$ を一つの項とみなして、$\sqrt{3}$ を消すために、分母と分子に $1 + \sqrt{2} - \sqrt{3}$ を掛けます。

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\frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}} \times \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}

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= \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{(1+\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3} = \frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}

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次に、$2\sqrt{2}$ の $\sqrt{2}$ を消すために、分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。

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\frac{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}}{4}

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3. 最終的な答え

$\frac{2+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$