与えられた式を因数分解する問題です。問題は以下の2つです。 (1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24$ (2) $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。問題は以下の2つです。

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24$

(2) $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$

2. 解き方の手順

(1) $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) - 24$

まず、$(x+1)(x+4)$と$(x+2)(x+3)$をそれぞれ計算します。

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$

$(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$

ここで、$x^2 + 5x = A$とおくと、与式は

$(A+4)(A+6) - 24 = A^2 + 10A + 24 - 24 = A^2 + 10A = A(A+10)$

$A$を元に戻すと、

$(x^2 + 5x)(x^2 + 5x + 10) = x(x+5)(x^2 + 5x + 10)$

(2) $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$

$(b+c)(c+a)(a+b) + abc = (b+c)(ac + a^2 + c^2 + ca) + abc$

$= (b+c)(a^2 + c^2 + 2ac) + abc = (b+c)((a+c)^2) + abc$

$=(b+c)(a^2 + 2ac + c^2) + abc = a^2b + 2abc + bc^2 + a^2c + 2ac^2 + c^3 + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc + abc -3abc$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc +abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

$= (a+b)(bc+ba+c^2+ca) = abc+a^2b+ac^2+a^2c+b^2c+ab^2+bc^2+abc$

$= a^2b+a^2c+ab^2+b^2c+ac^2+bc^2+2abc$

まず、$(b+c)(c+a) = bc + ba + c^2 + ca$

これに$(a+b)$を掛けると、

$(bc + ba + c^2 + ca)(a+b) = abc + ba^2 + c^2a + ca^2 + b^2c + b^2a + c^2b + cab$

$= abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + c^2b + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

これに$abc$を足すと、

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

これを因数分解すると、$(a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

(1) $x(x+5)(x^2 + 5x + 10)$

(2) $(a+b)(b+c)(c+a)$