自然数全体の集合を $U$ とし、集合 $A$ を「30で割り切れない自然数の集合」、集合 $B$ を「5で割り切れない自然数の集合」とする。 (1) 自然数 $n$ が $A$ に属することは、$n$ が10で割り切れないための何という条件か。 (2) 自然数 $n$ が $B$ に属することは、$n$ が15で割り切れないための何という条件か。 選択肢は以下の通り。 1. 必要十分条件である

1. 問題の内容

自然数全体の集合を $U$ とし、集合 $A$ を「30で割り切れない自然数の集合」、集合 $B$ を「5で割り切れない自然数の集合」とする。

(1) 自然数 $n$ が $A$ に属することは、$n$ が10で割り切れないための何という条件か。

(2) 自然数 $n$ が $B$ に属することは、$n$ が15で割り切れないための何という条件か。

選択肢は以下の通り。

1. 必要十分条件である

2. 必要条件であるが、十分条件ではない

3. 十分条件であるが、必要条件ではない

4. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) 自然数 $n$ が $A$ に属することは、$n$ が30で割り切れないことである。

$n$ が10で割り切れないならば、$n$ は30で割り切れないか？　$n=20$ のとき、$n$ は10で割り切れるが、30で割り切れないので、これは偽である。つまり、十分条件ではない。

$n$ が30で割り切れないならば、$n$ は10で割り切れないか？　$n$ が10で割り切れるならば、30で割り切れるか？ $n=10$のとき、$n$ は10で割り切れるが、30で割り切れない。$n = 20$のときも同様。$n=30$のとき、$n$ は30で割り切れる。よって、$n$ が30で割り切れないならば、$n$ は10で割り切れるとは限らない。つまり、必要条件ではない。

したがって、$n$ が $A$ に属することは、$n$ が10で割り切れないための必要条件でも十分条件でもない。

(2) 自然数 $n$ が $B$ に属することは、$n$ が5で割り切れないことである。

$n$ が15で割り切れないならば、$n$ は5で割り切れないか？ $n=10$のとき、$n$ は15で割り切れないが、5で割り切れる。したがって、十分条件ではない。

$n$ が5で割り切れないならば、$n$ は15で割り切れないか？ $n$ が5で割り切れないとき、$n$ は必ず15で割り切れないので、これは必要条件である。

したがって、$n$ が $B$ に属することは、$n$ が15で割り切れないための必要条件であるが、十分条件ではない。

3. 最終的な答え

(1) 4

(2) 2