ある店でシングルCDの売上枚数を集計したところ、先週も今週も1位から5位まではP, Q, R, S, Tの5曲だった。先週と比べた今週の各曲の順位について、以下のことが分かっている。 * Pの順位は2つ上がり、Qの順位は変わらなかった * RとSの順位はどちらも3つ下がった このとき、今週のTの順位を求める。

1. 問題の内容

ある店でシングルCDの売上枚数を集計したところ、先週も今週も1位から5位まではP, Q, R, S, Tの5曲だった。先週と比べた今週の各曲の順位について、以下のことが分かっている。

* Pの順位は2つ上がり、Qの順位は変わらなかった

* RとSの順位はどちらも3つ下がった

このとき、今週のTの順位を求める。

2. 解き方の手順

先週の順位をP, Q, R, S, Tとする。今週の順位をP', Q', R', S', T'とする。

P, Q, R, S, Tはそれぞれ1位から5位のいずれかである。

P' = P - 2

Q' = Q

R' = R + 3

S' = S + 3

P', Q', R', S', T'もそれぞれ1位から5位のいずれかである。

P, Q, R, S, Tは全て異なるので、P', Q', R', S', T'も全て異なっていなければならない。

R' = R + 3、S' = S + 3より、RとSは1位または2位ではない。なぜなら、RとSが1位または2位だった場合、R'またはS'が4位以上になってしまい、R,S,T,P,Q のいずれかと重複してしまうからである。

もし、RまたはSが1位ならば、R'またはS'は4位となる。同様に、もし、RまたはSが2位ならば、R'またはS'は5位となる。

ここで、Pの順位は2つ上がっているので、Pは3位、4位、または5位である。

Pが3位の場合、P'は1位

Pが4位の場合、P'は2位

Pが5位の場合、P'は3位

Qの順位は変わらないので、Qは1位から5位のいずれかである。

また、RとSはどちらも3つ順位が下がっているので、RとSは1位と2位ではない。したがって、RとSは3位、4位、5位のいずれかである。

したがって、Tは1位または2位である。

RとSがどちらも3つ下がったので、R', S' >= 4となる。

このとき、RとSはそれぞれ3位または4位となる。

このとき、R'とS'はそれぞれ6位または7位となるため、矛盾する。

RとSは3位または4位ではなく、RとSはどちらかが4位で、もう片方が5位である。

RとSの順位が3つ下がるとR'とS'はそれぞれ7位と8位になり、矛盾する。

この条件を満たすのは、RまたはSが1位または2位の場合のみである。

上記の条件を満たすには、Pが3位、Qが1位、Rが2位、Sが4位、Tが5位でなければならない。

P'=1位、Q'=1位となり、Q'とP'が同じ順位になってしまうので、矛盾する。

上記の条件を満たすのは、Pが4位、Qが1位、Rが2位、Sが3位、Tが5位でなければならない。

P'=2位、Q'=1位、R'=5位、S'=6位、T'=変化する順位で矛盾は生じない。

もしくは、Pが5位、Qが1位、Rが2位、Sが3位、Tが4位である。

P'=3位、Q'=1位、R'=5位、S'=6位、T'=変化する順位で矛盾は生じない。

上記より、RとSは3つ順位が下がっているので、RとSは1位と2位ではありえない。RとSは3位、4位、または5位である必要がある。

Pは2つ順位が上がっているので、Pは3位、4位、または5位である必要がある。

Qは順位が変わらないので、Qは1位から5位のいずれかである。

もし、Tが1位または2位だった場合、Pは4位または5位である必要があり、Q,R,Sは3位、4位、または5位である必要がある。

そうすると、Tは3位になるしかない。

もし、Tが5位だった場合、Pは3位になる必要があり、Q,R,Sは1位、2位、4位である必要がある。

先週の順位がP(1), Q(2), R(3), S(4), T(5)だとすると、今週の順位はP(1-2=-1), Q(2), R(3+3=6), S(4+3=7), T(5)となり、不適切

先週の順位がP(1), Q(2), R(4), S(3), T(5)だとすると、今週の順位はP(1-2=-1), Q(2), R(4+3=7), S(3+3=6), T(5)となり、不適切

Tが4位

先週の順位がP=3, Q=1, R=2, S=4, T=5

今週の順位はP=1, Q=1, R=5, S=7, T=?となり、順位が重複しているため、不適切

先週: P=3, Q=1, R=4, S=5, T=2

今週: P'=1, Q'=1, R'=7, S'=8, T'=3

不適切

先週: P=4, Q=1, R=2, S=3, T=5

今週: P'=2, Q'=1, R'=5, S'=6, T'=4

3. 最終的な答え

4位