$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の問いに答える。 (1) 方程式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。 (2) 不等式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の問いに答える。

(1) 方程式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を満たす $\theta$ の値を求める。

(2) 不等式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 方程式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 = 0$ を解く。

$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ を用いて $\cos 2\theta$ を $\sin \theta$ で表す。

$\sqrt{2} \sin \theta - (1 - 2\sin^2 \theta) + 1 = 0$

$\sqrt{2} \sin \theta - 1 + 2\sin^2 \theta + 1 = 0$

$2\sin^2 \theta + \sqrt{2} \sin \theta = 0$

$\sin \theta(2\sin \theta + \sqrt{2}) = 0$

したがって、$\sin \theta = 0$ または $\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\sin \theta = 0$ を満たす $\theta$ は $\theta = 0, \pi$。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ を満たす $\theta$ は $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$。

よって、$\theta = 0, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$。

(2) 不等式 $\sqrt{2} \sin \theta - \cos 2\theta + 1 < 0$ を解く。

(1)と同様に、$\sqrt{2} \sin \theta - (1 - 2\sin^2 \theta) + 1 < 0$

$2\sin^2 \theta + \sqrt{2} \sin \theta < 0$

$\sin \theta(2\sin \theta + \sqrt{2}) < 0$

したがって、$\sin \theta$ の符号によって場合分けをする。

(i) $\sin \theta > 0$ かつ $2\sin \theta + \sqrt{2} < 0$ のとき、$\sin \theta > 0$ かつ $\sin \theta < -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。これはありえない。

(ii) $\sin \theta < 0$ かつ $2\sin \theta + \sqrt{2} > 0$ のとき、$\sin \theta < 0$ かつ $\sin \theta > -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。

$-\frac{\sqrt{2}}{2} < \sin \theta < 0$ を満たす $\theta$ の範囲を求める。

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は $\theta = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ であり、$\sin \theta = 0$ となる $\theta$ は $\theta = \pi, 2\pi$。

したがって、$\pi < \theta < \frac{5\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$。

3. 最終的な答え

(1) $\theta = 0, \pi, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(2) $\pi < \theta < \frac{5\pi}{4}$ または $\frac{7\pi}{4} < \theta < 2\pi$