複素数に関する方程式 $\frac{1}{2+i} + \frac{1}{x+yi} = \frac{1}{2}$ を満たす実数 $x$ と $y$ を求めます。

1. 問題の内容

複素数に関する方程式 $\frac{1}{2+i} + \frac{1}{x+yi} = \frac{1}{2}$ を満たす実数 $x$ と $y$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{2+i}$ を計算します。分母と分子に $2-i$ を掛けて分母を実数化します。

$\frac{1}{2+i} = \frac{1}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i} = \frac{2-i}{4 - i^2} = \frac{2-i}{4 - (-1)} = \frac{2-i}{5} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$

したがって、方程式は以下のようになります。

$\frac{2}{5} - \frac{1}{5}i + \frac{1}{x+yi} = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x+yi} = \frac{1}{2} - \frac{2}{5} + \frac{1}{5}i = \frac{5-4}{10} + \frac{1}{5}i = \frac{1}{10} + \frac{1}{5}i$

$\frac{1}{x+yi} = \frac{1+2i}{10}$

$x+yi = \frac{10}{1+2i} = \frac{10(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{10(1-2i)}{1 - (2i)^2} = \frac{10(1-2i)}{1 - (-4)} = \frac{10(1-2i)}{5} = 2(1-2i) = 2-4i$

したがって、$x=2$ かつ $y=-4$ です。

3. 最終的な答え

$x=2$, $y=-4$