図のように、四角形ABCDがあり、$AB=AD=10, BC=6, \angle ABC=120^\circ$である。直線ACと直線DBの交点をEとし、$AE:EC=5:3$とする。このとき、以下の各問いに答えよ。 (1) 三角形ABCの面積を求めよ。 (2) 点Eを通り直線BCに平行な直線と、辺ABとの交点をFとする。EFの長さを求めよ。 (3) 辺BC上にDHとBCが垂直になるように点Hをとる。CHの長さを求めよ。 (4) 点Dを通る3本の直線で、四角形ABCDの面積を四等分すると、直線のうち2本は辺ABと交わり、1本は辺BCと点Pで交わる。BPの長さを求めよ。 (5) 直線BDを軸として、四角形ABCDを回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、円周率は$\pi$として計算すること。

1. 問題の内容

図のように、四角形ABCDがあり、$AB=AD=10, BC=6, \angle ABC=120^\circ$である。直線ACと直線DBの交点をEとし、$AE:EC=5:3$とする。このとき、以下の各問いに答えよ。

(1) 三角形ABCの面積を求めよ。

(2) 点Eを通り直線BCに平行な直線と、辺ABとの交点をFとする。EFの長さを求めよ。

(3) 辺BC上にDHとBCが垂直になるように点Hをとる。CHの長さを求めよ。

(4) 点Dを通る3本の直線で、四角形ABCDの面積を四等分すると、直線のうち2本は辺ABと交わり、1本は辺BCと点Pで交わる。BPの長さを求めよ。

(5) 直線BDを軸として、四角形ABCDを回転させてできる立体の体積を求めよ。ただし、円周率は$\pi$として計算すること。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積

三角形の面積は、$\frac{1}{2}ab\sin C$で求められる。

$\angle ABC = 120^\circ$なので、

$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、三角形ABCの面積は、

$\frac{1}{2} \times AB \times BC \times \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$

(2) EFの長さを求める

点Eを通りBCに平行な直線とABの交点をFとする。

三角形AFEと三角形ABCは相似である。

$\frac{AE}{AC} = \frac{5}{5+3} = \frac{5}{8}$

$\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{5}{8}$

$AF = \frac{5}{8}AB = \frac{5}{8} \times 10 = \frac{25}{4}$

$\frac{EF}{BC} = \frac{AE}{AC} = \frac{5}{8}$

$EF = \frac{5}{8}BC = \frac{5}{8} \times 6 = \frac{15}{4}$

(3) CHの長さを求める

三角形DBCの面積は四角形ABCDの面積から三角形ABCの面積を引いたもの。四角形ABCDの面積を求めずにCHを求めることを考える。

AB=ADより、四角形ABCDはADとABを隣り合う辺とする平行四辺形ではない。

DHはBCに垂直なので、三角形DHCは直角三角形。DHの長さを求める必要がある。

AB=AD=10, BC=6, 角ABC=120度より、余弦定理より、$AC^2 = 10^2+6^2-2\times10\times6\cos120 = 100+36-120(-1/2) = 136+60=196$なので、$AC=14$

$AE:EC = 5:3$より、$AE = \frac{5}{8}AC = \frac{5}{8} \times 14 = \frac{35}{4}$

$EC = \frac{3}{8}AC = \frac{3}{8} \times 14 = \frac{21}{4}$

BDを求める。$\angle ABD$の情報を求める必要がある。

(4) BPの長さを求める

四角形ABCDの面積は、三角形ABCの面積$15\sqrt{3}$と三角形ADCの面積の和である。

三角形ADCは、AD=10, AC=14, CDの値が不明なので面積が出せない。四角形を四等分するという条件を利用する。

(5) 直線BDを軸として、四角形ABCDを回転させてできる立体の体積を求めよ。

3. 最終的な答え

(1) $15\sqrt{3}$

(2) $\frac{15}{4}$