$\sqrt{4 - \sqrt{15}}$ を簡単にせよ。

1. 問題の内容

$\sqrt{4 - \sqrt{15}}$ を簡単にせよ。

2. 解き方の手順

二重根号を外す。

$4 - \sqrt{15}$ を $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2$ の形に変形することを考える。

$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}$ であるから、

$a + b = 4$ かつ $ab = \frac{15}{4}$ を満たす $a, b$ を探す。

$a, b$ は $t^2 - 4t + \frac{15}{4} = 0$ の解である。

これを解くと、

$4t^2 - 16t + 15 = 0$

$(2t - 5)(2t - 3) = 0$

$t = \frac{5}{2}, \frac{3}{2}$

したがって、$a = \frac{5}{2}, b = \frac{3}{2}$ とすれば良い。

$\sqrt{4 - \sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}})^2} = \sqrt{\frac{5}{2}} - \sqrt{\frac{3}{2}}$

$= \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{10} - \sqrt{6}}{2}$