(3) $\sum_{k=0}^{10} k \cdot {}_{10}C_k$ の値を求める。 (4) $\sum_{k=4}^{10} {}_kC_4$ の値を求める。

1. 問題の内容

(3) $\sum_{k=0}^{10} k \cdot {}_{10}C_k$ の値を求める。

(4) $\sum_{k=4}^{10} {}_kC_4$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(3)

二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {}_nC_k x^k$ を利用する。

この両辺を $x$ で微分すると、

$n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^n k \cdot {}_nC_k x^{k-1}$

この式に $x=1$ を代入すると、

$n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=0}^n k \cdot {}_nC_k$

$\sum_{k=0}^n k \cdot {}_nC_k = n \cdot 2^{n-1}$

したがって、

$\sum_{k=0}^{10} k \cdot {}_{10}C_k = 10 \cdot 2^{10-1} = 10 \cdot 2^9 = 10 \cdot 512 = 5120$

(4)

パスカルの三角形の性質を利用する。

${}_{n+1}C_{r+1} = {}_nC_r + {}_nC_{r+1}$

この性質より、

${}_rC_r + {}_{r+1}C_r + {}_{r+2}C_r + \dots + {}_nC_r = {}_{n+1}C_{r+1}$

が成り立つ。

$\sum_{k=4}^{10} {}_kC_4 = {}_4C_4 + {}_5C_4 + {}_6C_4 + {}_7C_4 + {}_8C_4 + {}_9C_4 + {}_{10}C_4$

${}_4C_4 + {}_5C_4 + {}_6C_4 + {}_7C_4 + {}_8C_4 + {}_9C_4 + {}_{10}C_4 = {}_{11}C_5$

${}_{11}C_5 = \frac{11!}{5!6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11 \times 3 \times 2 \times 7 = 462$

3. 最終的な答え

(3) 5120

(4) 462