ある実験を繰り返し行うとき、実験が成功する確率が常に $\frac{2}{5}$ である。この実験を5回行うとき、ちょうど2回成功する確率を求める。

1. 問題の内容

ある実験を繰り返し行うとき、実験が成功する確率が常に $\frac{2}{5}$ である。この実験を5回行うとき、ちょうど2回成功する確率を求める。

2. 解き方の手順

この問題は二項分布の問題です。

実験の回数を $n$, 成功する確率を $p$, 成功する回数を $k$ とすると、ちょうど $k$ 回成功する確率は以下の式で表されます。

$P(k) = {}_n C_k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

ここで、${}_n C_k$ は二項係数であり、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算されます。

今回の問題では、$n=5$, $p=\frac{2}{5}$, $k=2$ なので、上記の式に代入して計算します。

まず、二項係数 ${}_5 C_2$ を計算します。

${}_5 C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

次に、$p^k$ を計算します。

$p^k = \left( \frac{2}{5} \right)^2 = \frac{4}{25}$

次に、$(1-p)^{n-k}$ を計算します。

$(1-p)^{n-k} = \left( 1 - \frac{2}{5} \right)^{5-2} = \left( \frac{3}{5} \right)^3 = \frac{27}{125}$

最後に、これらの値を $P(k)$ の式に代入して計算します。

$P(2) = {}_5 C_2 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^2 \cdot \left( \frac{3}{5} \right)^3 = 10 \cdot \frac{4}{25} \cdot \frac{27}{125} = 10 \cdot \frac{4 \times 27}{25 \times 125} = 10 \cdot \frac{108}{3125} = \frac{1080}{3125} = \frac{216}{625}$

3. 最終的な答え

$\frac{216}{625}$