$\sqrt{n^2 + 121}$ が整数となるような自然数 $n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{n^2 + 121}$ が整数となるような自然数 $n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{n^2 + 121}$ が整数であるとき、$n^2 + 121$ はある整数の2乗となります。

したがって、$n^2 + 121 = m^2$ となる整数 $m$ が存在します。

$n^2 + 121 = m^2$ を変形すると、

$m^2 - n^2 = 121$

$(m + n)(m - n) = 121$

となります。

$121 = 11^2$ であり、121の約数は1, 11, 121です。

また、$m$ と $n$ は自然数であるため、$m + n > 0$ であり、$m - n$ も正の整数である必要があります。

$m + n > m - n$ に注意して、以下の組み合わせが考えられます。

1) $m + n = 121$ かつ $m - n = 1$

2) $m + n = 11$ かつ $m - n = 11$

1) の場合、

$m + n = 121$

$m - n = 1$

2つの式を足し合わせると、$2m = 122$ となり、$m = 61$ が得られます。

$m = 61$ を $m + n = 121$ に代入すると、$61 + n = 121$ となり、$n = 60$ が得られます。

これは自然数であるため条件を満たします。

2) の場合、

$m + n = 11$

$m - n = 11$

2つの式を足し合わせると、$2m = 22$ となり、$m = 11$ が得られます。

$m = 11$ を $m + n = 11$ に代入すると、$11 + n = 11$ となり、$n = 0$ が得られます。

$n=0$ は自然数ではないため、条件を満たしません。

したがって、$n = 60$ のみが条件を満たします。

3. 最終的な答え

$n = 60$