(1) $\sqrt{3}$ が無理数であることを示す。 (2) $\log_2 3$ が無理数であることを示す。

1. 問題の内容

(1) $\sqrt{3}$ が無理数であることを示す。

(2) $\log_2 3$ が無理数であることを示す。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ が無理数であることの証明:

背理法を用いる。$\sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。すると、互いに素な整数 $m$ と $n$ (ただし $n \neq 0$) を用いて $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表すことができる。

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

$3n^2 = m^2$

この式から $m^2$ は3の倍数である。したがって、$m$ も3の倍数でなければならない。

よって、$m = 3k$ (ただし $k$ は整数) と表せる。これを $3n^2 = m^2$ に代入すると、

$3n^2 = (3k)^2 = 9k^2$

$n^2 = 3k^2$

この式から $n^2$ は3の倍数である。したがって、$n$ も3の倍数でなければならない。

すると、$m$ も $n$ も3の倍数となり、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。したがって、$\sqrt{3}$ は有理数ではない。つまり、$\sqrt{3}$ は無理数である。

(2) $\log_2 3$ が無理数であることの証明:

背理法を用いる。$\log_2 3$ が有理数であると仮定する。すると、互いに素な整数 $p$ と $q$ (ただし $q \neq 0$) を用いて $\log_2 3 = \frac{p}{q}$ と表すことができる。

この式を指数形式に書き換えると、

$2^{\frac{p}{q}} = 3$

両辺を $q$ 乗すると、

$(2^{\frac{p}{q}})^q = 3^q$

$2^p = 3^q$

ここで、$p$ と $q$ は整数である。$2^p$ は偶数であり、$3^q$ は奇数である。偶数と奇数が等しくなることはあり得ないので、これは矛盾である。したがって、$\log_2 3$ は有理数ではない。つまり、$\log_2 3$ は無理数である。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}$ は無理数である。

(2) $\log_2 3$ は無理数である。