直線 $y = -7x + 11$ に関して、点 $A(-2, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $y = -7x + 11$ に関して、点 $A(-2, 0)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点$B$の座標を $(x, y)$ とします。

点$A$と点$B$の中点を$M$とすると、$M$は直線 $y = -7x + 11$ 上にある。

$M$の座標は $\left(\frac{x-2}{2}, \frac{y}{2}\right)$ となる。

$M$が直線 $y = -7x + 11$ 上にあるので、

$$\frac{y}{2} = -7 \cdot \frac{x-2}{2} + 11$$

$$y = -7(x-2) + 22$$

$$y = -7x + 14 + 22$$

$$y = -7x + 36 \qquad (1)$$

また、直線$AB$と直線 $y = -7x + 11$ は垂直に交わる。直線 $y = -7x + 11$ の傾きは $-7$ なので、直線$AB$の傾きは $\frac{1}{7}$。

したがって、

$$\frac{y-0}{x-(-2)} = \frac{1}{7}$$

$$\frac{y}{x+2} = \frac{1}{7}$$

$$y = \frac{1}{7}(x+2) \qquad (2)$$

(1)と(2)より、

$$\frac{1}{7}(x+2) = -7x + 36$$

$$x+2 = -49x + 252$$

$$50x = 250$$

$$x = 5$$

$x=5$を(2)に代入すると、

$$y = \frac{1}{7}(5+2) = \frac{7}{7} = 1$$

よって、点$B$の座標は $(5, 1)$。

3. 最終的な答え

$(5, 1)$