立方体 ABCD-EFGH において、与えられたベクトルの組が1次独立であるか、1次従属であるかを判断する問題です。1次独立な場合は○、1次従属な場合は×を括弧の中に記入します。

1. 問題の内容

立方体 ABCD-EFGH において、与えられたベクトルの組が1次独立であるか、1次従属であるかを判断する問題です。1次独立な場合は○、1次従属な場合は×を括弧の中に記入します。

2. 解き方の手順

各ベクトルの組について、1次独立かどうかを検討します。

* {$\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$}: $\overrightarrow{AC}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{BC}$ = $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ なので、$\overrightarrow{AC}$ は $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AD}$ の線形結合で表せます。したがって、$\overrightarrow{AC}$ と $\overrightarrow{AD}$ は1次従属です。 (x)

* {$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AG}$}: $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AG}$ は同じ平面上にないため、一次独立です。 (o)

* {$\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{HD}$}: $\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{HD}$ は平行なので、$\overrightarrow{AE}$ = $\overrightarrow{DH}$ = -$\overrightarrow{HD}$。したがって、$\overrightarrow{AE}$ と $\overrightarrow{HD}$ は1次従属です。(x)

* {$\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{FC}$}: $\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{FC}$ は平行なので、$\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{FC}$。したがって、$\overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{FC}$ は1次従属です。(x)

* {$\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BF}$}: $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BF}$ は互いに直交するベクトルなので、一次独立です。 (o)

* {$\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EG}$, $\overrightarrow{EH}$}: $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EG}$, $\overrightarrow{EH}$ は互いに直交するベクトルなので、一次独立です。 (o)

* {$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$}: $\overrightarrow{AB}$ が重複しているので、1次従属です。(x)

* {$\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{BG}$, $\overrightarrow{BH}$}: $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{BG}$, $\overrightarrow{BH}$ は立方体上の点を結ぶ３つのベクトルであり、空間ベクトルなので、一次独立です。(o)

* {$\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{BG}$}: $\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{BG}$ は空間ベクトルであり、一次独立です。 (o)

* {$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{DG}$}: $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{DG}$ は空間ベクトルなので、一次独立です。 (o)

3. 最終的な答え

{$\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$} (x)

{$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AG}$} (o)

{$\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{HD}$} (x)

{$\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{FC}$} (x)

{$\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{BF}$} (o)

{$\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{EG}$, $\overrightarrow{EH}$} (o)

{$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$} (x)

{$\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{BG}$, $\overrightarrow{BH}$} (o)

{$\overrightarrow{AG}$, $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{BG}$} (o)

{$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BF}$, $\overrightarrow{DG}$} (o)