直線 $3x - 2y + 6 = 0$ に関して、点 $A(-3, 5)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $3x - 2y + 6 = 0$ に関して、点 $A(-3, 5)$ と対称な点 $B$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点$B$の座標を $(x, y)$ とします。

ステップ1：線分$AB$の中点$M$の座標を求めます。

$M$の座標は、$\left(\frac{x-3}{2}, \frac{y+5}{2}\right)$となります。

ステップ2：点$M$は直線 $3x - 2y + 6 = 0$ 上にあるので、以下の式が成り立ちます。

$3\left(\frac{x-3}{2}\right) - 2\left(\frac{y+5}{2}\right) + 6 = 0$

これを整理すると、

$3(x-3) - 2(y+5) + 12 = 0$

$3x - 9 - 2y - 10 + 12 = 0$

$3x - 2y - 7 = 0$ ...(1)

ステップ3：線分 $AB$ は直線 $3x - 2y + 6 = 0$ に垂直なので、線分 $AB$ の傾きは $-\frac{1}{直線 の傾き}$ となります。

直線の傾きは $\frac{3}{2}$ なので、線分 $AB$ の傾きは $-\frac{2}{3}$ となります。

線分 $AB$ の傾きは $\frac{y-5}{x+3}$ なので、

$\frac{y-5}{x+3} = -\frac{2}{3}$

$3(y-5) = -2(x+3)$

$3y - 15 = -2x - 6$

$2x + 3y - 9 = 0$ ...(2)

ステップ4：(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1) $3x - 2y - 7 = 0$

(2) $2x + 3y - 9 = 0$

(1) * 3 + (2) * 2 より、

$9x - 6y - 21 + 4x + 6y - 18 = 0$

$13x - 39 = 0$

$x = 3$

$x = 3$ を (2) に代入すると、

$2(3) + 3y - 9 = 0$

$6 + 3y - 9 = 0$

$3y = 3$

$y = 1$

したがって、点 $B$ の座標は $(3, 1)$ となります。

3. 最終的な答え

点Bの座標は $(3, 1)$ です。