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$x$ の2次方程式 $x^2 - (a-8)x - a + 5 = 0$ の解がどちらも整数であるとき、整数 $a$ の値を全て求める。

代数学二次方程式解の公式整数解解と係数の関係
2025/6/15

1. 問題の内容

xx の2次方程式 x2−(a−8)x−a+5=0x^2 - (a-8)x - a + 5 = 0 の解がどちらも整数であるとき、整数 aa の値を全て求める。

2. 解き方の手順

2次方程式の解を α\alpha と β\beta とします。解と係数の関係より、
α+β=a−8 \alpha + \beta = a - 8
αβ=−a+5 \alpha \beta = -a + 5
これら2つの式を連立させ、aa を消去します。
α+β+αβ=a−8−a+5=−3 \alpha + \beta + \alpha \beta = a - 8 - a + 5 = -3
α+β+αβ=−3 \alpha + \beta + \alpha \beta = -3
移項して整理します。
α+β+αβ+1=−2 \alpha + \beta + \alpha \beta + 1 = -2
(α+1)(β+1)=−2 (\alpha + 1)(\beta + 1) = -2
α\alpha と β\beta は整数なので、(α+1)(\alpha + 1) と (β+1)(\beta + 1) も整数です。よって、(α+1)(\alpha + 1) と (β+1)(\beta + 1) の組み合わせは、
(1, -2), (-2, 1), (-1, 2), (2, -1) の4通りです。
各々の場合について考えます。
(i) (α+1,β+1)=(1,−2)(\alpha + 1, \beta + 1) = (1, -2) のとき、α=0,β=−3\alpha = 0, \beta = -3
このとき a=α+β+8=0+(−3)+8=5a = \alpha + \beta + 8 = 0 + (-3) + 8 = 5
(ii) (α+1,β+1)=(−2,1)(\alpha + 1, \beta + 1) = (-2, 1) のとき、α=−3,β=0\alpha = -3, \beta = 0
このとき a=α+β+8=−3+0+8=5a = \alpha + \beta + 8 = -3 + 0 + 8 = 5
(iii) (α+1,β+1)=(−1,2)(\alpha + 1, \beta + 1) = (-1, 2) のとき、α=−2,β=1\alpha = -2, \beta = 1
このとき a=α+β+8=−2+1+8=7a = \alpha + \beta + 8 = -2 + 1 + 8 = 7
(iv) (α+1,β+1)=(2,−1)(\alpha + 1, \beta + 1) = (2, -1) のとき、α=1,β=−2\alpha = 1, \beta = -2
このとき a=α+β+8=1+(−2)+8=7a = \alpha + \beta + 8 = 1 + (-2) + 8 = 7
したがって、aa の値は5と7です。

3. 最終的な答え

a = 5, 7

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