方程式 $5x + 3y + z = 21$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求めます。

1. 問題の内容

方程式 $5x + 3y + z = 21$ を満たす自然数 $x, y, z$ の組の個数を求めます。

2. 解き方の手順

$x, y, z$ は自然数なので、$x \geq 1$, $y \geq 1$, $z \geq 1$ です。

まず、$x$ の取りうる値を考えます。

$5x \leq 21 - 3 - 1 = 17$ より、$x \leq \frac{17}{5} = 3.4$ なので、$x$ は $1, 2, 3$ のいずれかです。

次に、$x$ の値ごとに、$y$ の取りうる値を考えます。

$x=1$ のとき、$3y + z = 21 - 5 = 16$ となります。$3y \leq 16-1=15$ より、$y \leq \frac{15}{3} = 5$ なので、$y$ は $1, 2, 3, 4, 5$ のいずれかです。

- $y=1$ のとき、$z=16-3=13$

- $y=2$ のとき、$z=16-6=10$

- $y=3$ のとき、$z=16-9=7$

- $y=4$ のとき、$z=16-12=4$

- $y=5$ のとき、$z=16-15=1$

よって、$x=1$ のとき、$(x, y, z) = (1, 1, 13), (1, 2, 10), (1, 3, 7), (1, 4, 4), (1, 5, 1)$ の $5$ 組です。

$x=2$ のとき、$3y + z = 21 - 10 = 11$ となります。$3y \leq 11-1=10$ より、$y \leq \frac{10}{3} = 3.33$ なので、$y$ は $1, 2, 3$ のいずれかです。

- $y=1$ のとき、$z=11-3=8$

- $y=2$ のとき、$z=11-6=5$

- $y=3$ のとき、$z=11-9=2$

よって、$x=2$ のとき、$(x, y, z) = (2, 1, 8), (2, 2, 5), (2, 3, 2)$ の $3$ 組です。

$x=3$ のとき、$3y + z = 21 - 15 = 6$ となります。$3y \leq 6-1=5$ より、$y \leq \frac{5}{3} = 1.66$ なので、$y$ は $1$ のみです。

- $y=1$ のとき、$z=6-3=3$

よって、$x=3$ のとき、$(x, y, z) = (3, 1, 3)$ の $1$ 組です。

したがって、解の組の個数は $5+3+1 = 9$ 組です。

3. 最終的な答え

9