与えられた式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - y - 5 = 0$ を満たす全ての整数の組 $(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 + 5xy + 3y^2 - y - 5 = 0$ を満たす全ての整数の組 $(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を $x$ についての2次方程式と見て整理します。

$2x^2 + (5y)x + (3y^2 - y - 5) = 0$

この $x$ についての2次方程式が整数解を持つためには、判別式 $D$ が非負の平方数である必要があります。判別式 $D$ を計算します。

$D = (5y)^2 - 4(2)(3y^2 - y - 5)$

$D = 25y^2 - 24y^2 + 8y + 40$

$D = y^2 + 8y + 40$

$D = (y+4)^2 - 16 + 40$

$D = (y+4)^2 + 24$

ここで、$D$ がある整数 $k$ の2乗になる必要があるため、

$(y+4)^2 + 24 = k^2$

$k^2 - (y+4)^2 = 24$

$(k - (y+4))(k + (y+4)) = 24$

ここで、$k$ と $y$ は整数であるため、$k - (y+4)$ と $k + (y+4)$ も整数であり、積が24になる整数のペアを考えます。また、$k + (y+4) > k - (y+4)$ であることに注意します。

考えられるペアは以下の通りです。

(1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6)

それぞれのペアについて、連立方程式を解きます。

(1)

$k - (y+4) = 1$

$k + (y+4) = 24$

これを解くと、$2k = 25$ となり、$k$ が整数にならないため、不適。

(2)

$k - (y+4) = 2$

$k + (y+4) = 12$

これを解くと、$2k = 14$, $k = 7$。

$7 - (y+4) = 2$ より $y+4 = 5$, $y = 1$。

このとき、$2x^2 + 5x + 3(1)^2 - 1 - 5 = 0$

$2x^2 + 5x - 3 = 0$

$(2x - 1)(x + 3) = 0$

$x = \frac{1}{2}$ または $x = -3$

$x$ は整数なので、$x = -3$。

よって、$(x, y) = (-3, 1)$

(3)

$k - (y+4) = 3$

$k + (y+4) = 8$

これを解くと、$2k = 11$ となり、$k$ が整数にならないため、不適。

(4)

$k - (y+4) = 4$

$k + (y+4) = 6$

これを解くと、$2k = 10$, $k = 5$。

$5 - (y+4) = 4$ より $y+4 = 1$, $y = -3$。

このとき、$2x^2 + 5x(-3) + 3(-3)^2 - (-3) - 5 = 0$

$2x^2 - 15x + 27 + 3 - 5 = 0$

$2x^2 - 15x + 25 = 0$

$(2x - 5)(x - 5) = 0$

$x = \frac{5}{2}$ または $x = 5$

$x$ は整数なので、$x = 5$。

よって、$(x, y) = (5, -3)$

3. 最終的な答え

求める整数の組 $(x, y)$ は $(-3, 1)$ と $(5, -3)$ です。

答え: $(-3, 1), (5, -3)$