パスカルの三角形を利用して、$(a+b)^6$ の展開式を求める問題です。

1. 問題の内容

パスカルの三角形を利用して、$(a+b)^6$ の展開式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、パスカルの三角形を6乗の展開まで作成します。

パスカルの三角形の各行は、二項展開の係数に対応します。具体的には、n段目の数字は $(a+b)^n$ の展開式の係数になります。パスカルの三角形は、各数字がその上の2つの数字の和になるように構成されます。

0段目: 1

1段目: 1 1

2段目: 1 2 1

3段目: 1 3 3 1

4段目: 1 4 6 4 1

5段目: 1 5 10 10 5 1

6段目: 1 6 15 20 15 6 1

$(a+b)^6$ の展開式の係数は、6段目の 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 になります。

したがって、展開式は次のようになります。

$1a^6b^0 + 6a^5b^1 + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6a^1b^5 + 1a^0b^6$

これを整理すると、

$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$

3. 最終的な答え

$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$