$3x + 4y = 2017$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組の個数を求め、その中で $|x - y|$ が最小となる組を求める。

1. 問題の内容

$3x + 4y = 2017$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組の個数を求め、その中で $|x - y|$ が最小となる組を求める。

2. 解き方の手順

まず、$3x + 4y = 2017$ を満たす自然数解 $(x, y)$ を求める。

$3x = 2017 - 4y$ より、$x = \frac{2017 - 4y}{3}$。

$x$ が自然数であるためには、$2017 - 4y$ が3の倍数でなければならない。

$2017 = 3 \times 672 + 1$ より、$2017 \equiv 1 \pmod{3}$。

$-4y \equiv -y \pmod{3}$ であるから、$1 - y \equiv 0 \pmod{3}$、つまり $y \equiv 1 \pmod{3}$。

したがって、$y = 3k + 1$ （$k$は0以上の整数）と表せる。

これを $x = \frac{2017 - 4y}{3}$ に代入すると、

$x = \frac{2017 - 4(3k + 1)}{3} = \frac{2017 - 12k - 4}{3} = \frac{2013 - 12k}{3} = 671 - 4k$。

$x$と$y$が自然数であるためには、$671 - 4k > 0$ かつ $3k + 1 > 0$ が必要。

$671 - 4k > 0$ より、$4k < 671$、よって $k < \frac{671}{4} = 167.75$。

$3k + 1 > 0$ より、$3k > -1$、よって $k > -\frac{1}{3}$。

したがって、$k$ は $0$ から $167$ までの整数である。

$k$の個数は $167 - 0 + 1 = 168$ 個。

したがって、$3x + 4y = 2017$ を満たす自然数 $(x, y)$ の組は168個である。

次に、$|x - y|$ が最小となる組を求める。

$x - y = (671 - 4k) - (3k + 1) = 670 - 7k$。

$|x - y| = |670 - 7k|$ を最小にする $k$ を求める。

$670 - 7k = 0$ となる $k$ は、$k = \frac{670}{7} \approx 95.71$ である。

$k = 95$ のとき、$x - y = 670 - 7 \times 95 = 670 - 665 = 5$。

$k = 96$ のとき、$x - y = 670 - 7 \times 96 = 670 - 672 = -2$。

$|x - y|$ が最小となるのは、$k = 96$ のときで、$|x - y| = |-2| = 2$。

$k = 96$ のとき、$x = 671 - 4 \times 96 = 671 - 384 = 287$、$y = 3 \times 96 + 1 = 288 + 1 = 289$。

したがって、$|x - y|$ が最小となる組は $(287, 289)$。

3. 最終的な答え

$3x+4y=2017$を満たす自然数$(x,y)$の組は168通りあり、その中で$|x-y|$が最小となる組は$(287, 289)$。