$x, y$ は整数とする。$\frac{1}{x} = \frac{1}{4} + \frac{1}{y}$ を満たす $(x, y)$ は何組あるか。

1. 問題の内容

$x, y$ は整数とする。$\frac{1}{x} = \frac{1}{4} + \frac{1}{y}$ を満たす $(x, y)$ は何組あるか。

2. 解き方の手順

与えられた式を変形する。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{4} + \frac{1}{y}$

$\frac{1}{x} = \frac{y+4}{4y}$

$x = \frac{4y}{y+4}$

$x = \frac{4(y+4) - 16}{y+4}$

$x = 4 - \frac{16}{y+4}$

$x$ が整数であるためには、$\frac{16}{y+4}$ が整数でなければならない。つまり、$y+4$ は 16 の約数である必要がある。

16 の約数は $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$ である。

それぞれの $y+4$ に対して、$y$ と $x$ を計算する。

* $y+4 = 1$ のとき、$y = -3$, $x = 4 - 16 = -12$

* $y+4 = -1$ のとき、$y = -5$, $x = 4 - (-16) = 20$

* $y+4 = 2$ のとき、$y = -2$, $x = 4 - 8 = -4$

* $y+4 = -2$ のとき、$y = -6$, $x = 4 - (-8) = 12$

* $y+4 = 4$ のとき、$y = 0$, $x = 4 - 4 = 0$。しかし、$y=0$ のとき $\frac{1}{y}$ が定義されないので、これは解ではない。

* $y+4 = -4$ のとき、$y = -8$, $x = 4 - (-4) = 8$

* $y+4 = 8$ のとき、$y = 4$, $x = 4 - 2 = 2$

* $y+4 = -8$ のとき、$y = -12$, $x = 4 - (-2) = 6$

* $y+4 = 16$ のとき、$y = 12$, $x = 4 - 1 = 3$

* $y+4 = -16$ のとき、$y = -20$, $x = 4 - (-1) = 5$

したがって、$(x, y)$ の組み合わせは $(-12, -3), (20, -5), (-4, -2), (12, -6), (8, -8), (2, 4), (6, -12), (3, 12), (5, -20)$ の 9 組である。

3. 最終的な答え

9組