$n$ を自然数とし、$\sqrt{n^2 + 3969}$ が整数となる $n$ を調べる。$k = \sqrt{n^2 + 3969}$ とおくと、$k^2 - n^2 = 3969 = 3^1 \times 7^2$ である。このような $n$ は何個あるか。また、最大の $n$ は何か。そのときの $k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とし、$\sqrt{n^2 + 3969}$ が整数となる $n$ を調べる。$k = \sqrt{n^2 + 3969}$ とおくと、$k^2 - n^2 = 3969 = 3^1 \times 7^2$ である。このような $n$ は何個あるか。また、最大の $n$ は何か。そのときの $k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$3969$ を素因数分解する。

$3969 = 3^2 \times 7^2 = (3 \times 7)^2 = 21^2$ である。問題文に $3^1 \times 7^2$ と書かれているので、$3^2$ が正しい。

$k^2 - n^2 = (k-n)(k+n) = 3^2 \times 7^2 = 21^2 = 441$ である。$k-n$ と $k+n$ は整数であり、$k+n > k-n > 0$ である。

$k-n = a, k+n = b$ とおくと、$ab = 441$ である。$k = \frac{a+b}{2}$, $n = \frac{b-a}{2}$ である。

$k$ と $n$ が整数であるためには、$a$ と $b$ が両方とも偶数または両方とも奇数である必要がある。$441$ は奇数なので、$a$ と $b$ は両方とも奇数である。

$441$ の約数は、$1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441$ である。

$a < b$ なので、以下の組み合わせが考えられる。

\begin{itemize}

\item $a = 1, b = 441$ のとき、$n = \frac{441-1}{2} = 220$, $k = \frac{441+1}{2} = 221$

\item $a = 3, b = 147$ のとき、$n = \frac{147-3}{2} = 72$, $k = \frac{147+3}{2} = 75$

\item $a = 7, b = 63$ のとき、$n = \frac{63-7}{2} = 28$, $k = \frac{63+7}{2} = 35$

\item $a = 9, b = 49$ のとき、$n = \frac{49-9}{2} = 20$, $k = \frac{49+9}{2} = 29$

\item $a = 21, b = 21$ のとき、$n = \frac{21-21}{2} = 0$ となるので、不適。

\end{itemize}

したがって、$n$ は $220, 72, 28, 20$ の4個である。

最大の $n$ は $220$ であり、このとき $k = 221$ である。

3. 最終的な答え

$3969 = 3^2 \times 7^2$

$n$ は $4$ 個ある。

最大の $n$ は $220$ であり、このとき $k = 221$ である。