与えられた不等式 $2x \le \sqrt{3}(x+1)$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $2x \le \sqrt{3}(x+1)$ を解き、$x$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式の右辺を展開します。

$2x \le \sqrt{3}x + \sqrt{3}$

次に、$x$ を含む項を左辺に、定数項を右辺に移行します。

$2x - \sqrt{3}x \le \sqrt{3}$

左辺を $x$ でくくります。

$(2 - \sqrt{3})x \le \sqrt{3}$

$x$ の係数 $(2 - \sqrt{3})$ は正の数なので、両辺を $(2 - \sqrt{3})$ で割っても不等号の向きは変わりません。

$x \le \frac{\sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}$

右辺の分母を有理化するために、分母と分子に $(2 + \sqrt{3})$ を掛けます。

$x \le \frac{\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$

$x \le \frac{2\sqrt{3} + 3}{4 - 3}$

$x \le \frac{2\sqrt{3} + 3}{1}$

$x \le 2\sqrt{3} + 3$

3. 最終的な答え

$x \le 3 + 2\sqrt{3}$