2点A(3, 5)とB(5, 1)を結ぶ線分ABについて、線分ABを2:1に内分する点Cの座標と、1:2に外分する点Dの座標を求める。

1. 問題の内容

2点A(3, 5)とB(5, 1)を結ぶ線分ABについて、線分ABを2:1に内分する点Cの座標と、1:2に外分する点Dの座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分ABをm:nに内分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$)、B($x_2$, $y_2$)とすると、次の式で求められます。

内分点のx座標: $\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$

内分点のy座標: $\frac{ny_1 + my_2}{m+n}$

線分ABをm:nに外分する点の座標は、A($x_1$, $y_1$)、B($x_2$, $y_2$)とすると、次の式で求められます。

外分点のx座標: $\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}$

外分点のy座標: $\frac{-ny_1 + my_2}{m-n}$

(1) 点C（2:1に内分する点）の座標を求めます。

m = 2, n = 1, $x_1$ = 3, $y_1$ = 5, $x_2$ = 5, $y_2$ = 1 を上記の公式に代入します。

点Cのx座標: $\frac{1 * 3 + 2 * 5}{2+1} = \frac{3 + 10}{3} = \frac{13}{3}$

点Cのy座標: $\frac{1 * 5 + 2 * 1}{2+1} = \frac{5 + 2}{3} = \frac{7}{3}$

(ii) 点D（1:2に外分する点）の座標を求めます。

m = 1, n = 2, $x_1$ = 3, $y_1$ = 5, $x_2$ = 5, $y_2$ = 1 を上記の公式に代入します。

点Dのx座標: $\frac{-2 * 3 + 1 * 5}{1-2} = \frac{-6 + 5}{-1} = \frac{-1}{-1} = 1$

点Dのy座標: $\frac{-2 * 5 + 1 * 1}{1-2} = \frac{-10 + 1}{-1} = \frac{-9}{-1} = 9$

3. 最終的な答え

(1) C($\frac{13}{3}$, $\frac{7}{3}$)

(ii) D(1, 9)