整数 $a$ と $b$ があり、$a$ を12で割ると7余り、$b$ を12で割ると10余る。このとき、$a$ を4で割ったときの余り、$a-b$ を12で割ったときの余り、$a^2b^2$ を12で割ったときの余りを求める。

1. 問題の内容

整数 $a$ と $b$ があり、$a$ を12で割ると7余り、$b$ を12で割ると10余る。このとき、$a$ を4で割ったときの余り、$a-b$ を12で割ったときの余り、$a^2b^2$ を12で割ったときの余りを求める。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ をそれぞれ12で割った余りから、以下の式が成り立つ。ここで $k, l$ は整数である。

$a = 12k + 7$

$b = 12l + 10$

(1) $a$ を4で割った余りを求める。

$a = 12k + 7 = 4(3k) + 4 + 3 = 4(3k+1) + 3$

したがって、$a$ を4で割った余りは3。

(2) $a-b$ を12で割った余りを求める。

$a-b = (12k + 7) - (12l + 10) = 12k - 12l - 3 = 12(k-l) - 3 = 12(k-l) - 12 + 9 = 12(k-l-1) + 9$

したがって、$a-b$ を12で割った余りは9。

(3) $a^2b^2$ を12で割った余りを求める。

$a^2 = (12k + 7)^2 = 144k^2 + 168k + 49 = 12(12k^2 + 14k + 4) + 1$

$b^2 = (12l + 10)^2 = 144l^2 + 240l + 100 = 12(12l^2 + 20l + 8) + 4$

$a^2b^2 = (12(12k^2 + 14k + 4) + 1)(12(12l^2 + 20l + 8) + 4) = 12(\cdots) + 1 \cdot 4 = 12(\cdots) + 4$

したがって、$a^2b^2$ を12で割った余りは4。

3. 最終的な答え

$a$ を4で割ったときの余りは 3。

$a-b$ を12で割ったときの余りは 9。

$a^2b^2$ を12で割ったときの余りは 4。