与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 + 4x^2 + 16$ (2) $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$ (3) $4x^4 + 1$

代数学因数分解多項式式の変形
2025/6/15
はい、承知いたしました。問題文に書かれている3つの式を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。
(1) x4+4x2+16x^4 + 4x^2 + 16
(2) x47x2y2+y4x^4 - 7x^2y^2 + y^4
(3) 4x4+14x^4 + 1

2. 解き方の手順

(1) x4+4x2+16x^4 + 4x^2 + 16
この式に 4x24x^2 を足して引くと、
x4+8x2+164x2x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2
=(x2+4)2(2x)2= (x^2 + 4)^2 - (2x)^2
これは、A2B2=(A+B)(AB)A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)の形なので、
=(x2+4+2x)(x2+42x)= (x^2 + 4 + 2x)(x^2 + 4 - 2x)
=(x2+2x+4)(x22x+4)= (x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)
(2) x47x2y2+y4x^4 - 7x^2y^2 + y^4
この式に 9x2y29x^2y^2 を足して引くと、
x4+2x2y2+y49x2y2x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2
=(x2+y2)2(3xy)2= (x^2 + y^2)^2 - (3xy)^2
これは、A2B2=(A+B)(AB)A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)の形なので、
=(x2+y2+3xy)(x2+y23xy)= (x^2 + y^2 + 3xy)(x^2 + y^2 - 3xy)
=(x2+3xy+y2)(x23xy+y2)= (x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)
(3) 4x4+14x^4 + 1
この式に 4x24x^2 を足して引くと、
4x4+4x2+14x24x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2
=(2x2+1)2(2x)2= (2x^2 + 1)^2 - (2x)^2
これは、A2B2=(A+B)(AB)A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)の形なので、
=(2x2+1+2x)(2x2+12x)= (2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x)
=(2x2+2x+1)(2x22x+1)= (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)

3. 最終的な答え

(1) (x2+2x+4)(x22x+4)(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)
(2) (x2+3xy+y2)(x23xy+y2)(x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)
(3) (2x2+2x+1)(2x22x+1)(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)

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## 1. 問題の内容

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