与えられた3つの式を因数分解する問題です。 (1) $x^4 + 4x^2 + 16$ (2) $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$ (3) $4x^4 + 1$

はい、承知いたしました。問題文に書かれている3つの式を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた3つの式を因数分解する問題です。

(1) $x^4 + 4x^2 + 16$

(2) $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$

(3) $4x^4 + 1$

2. 解き方の手順

(1) $x^4 + 4x^2 + 16$

この式に $4x^2$ を足して引くと、

$x^4 + 8x^2 + 16 - 4x^2$

$= (x^2 + 4)^2 - (2x)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$の形なので、

$= (x^2 + 4 + 2x)(x^2 + 4 - 2x)$

$= (x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $x^4 - 7x^2y^2 + y^4$

この式に $9x^2y^2$ を足して引くと、

$x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 9x^2y^2$

$= (x^2 + y^2)^2 - (3xy)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$の形なので、

$= (x^2 + y^2 + 3xy)(x^2 + y^2 - 3xy)$

$= (x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)$

(3) $4x^4 + 1$

この式に $4x^2$ を足して引くと、

$4x^4 + 4x^2 + 1 - 4x^2$

$= (2x^2 + 1)^2 - (2x)^2$

これは、$A^2 - B^2 = (A + B)(A - B)$の形なので、

$= (2x^2 + 1 + 2x)(2x^2 + 1 - 2x)$

$= (2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$

(2) $(x^2 + 3xy + y^2)(x^2 - 3xy + y^2)$

(3) $(2x^2 + 2x + 1)(2x^2 - 2x + 1)$