数列 $1 \cdot 1, 2 \cdot 7, 3 \cdot 13, \dots$ の第 $k$ 項を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1 \cdot 1, 2 \cdot 7, 3 \cdot 13, \dots$ の第 $k$ 項を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた数列の各項は、2つの数の積で表されています。

まず、それぞれの数の数列がどのような規則に従っているかを見つけます。

1つ目の数の数列は $1, 2, 3, \dots$ であり、これは初項1、公差1の等差数列なので、第 $k$ 項は $k$ となります。

2つ目の数の数列は $1, 7, 13, \dots$ であり、これは初項1、公差6の等差数列なので、第 $k$ 項は $1 + (k-1) \cdot 6 = 1 + 6k - 6 = 6k - 5$ となります。

したがって、与えられた数列の第 $k$ 項は、2つの数列の第 $k$ 項の積で表されるので、$k(6k - 5)$ となります。

3. 最終的な答え

第 $k$ 項は $k(6k - 5) = 6k^2 - 5k$ です。