与えられた曲線と直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。6つの小問があります。以下、それぞれの小問について解答します。

1. 問題の内容

与えられた曲線と直線で囲まれた図形の面積を求める問題です。6つの小問があります。以下、それぞれの小問について解答します。

2. 解き方の手順

各小問について、積分を用いて面積を計算します。

(1) $y = -x^2 + 2x$, $x$軸

まず、$y = -x^2 + 2x = -x(x-2)$ より、放物線は $x=0$ と $x=2$ で $x$軸と交わります。

求める面積は、

$$\int_0^2 (-x^2 + 2x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_0^2 = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$$

(2) $y = \frac{1}{x^2}$, $x=1$, $x=3$, $x$軸

求める面積は、

$$\int_1^3 \frac{1}{x^2} dx = \int_1^3 x^{-2} dx = \left[ -x^{-1} \right]_1^3 = \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^3 = -\frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3}$$

(3) $y = e^x$, $x=-1$, $x=2$, $x$軸

求める面積は、

$$\int_{-1}^2 e^x dx = \left[ e^x \right]_{-1}^2 = e^2 - e^{-1} = e^2 - \frac{1}{e}$$

(4) $y = \cos x$, $x=0$, $x=\frac{\pi}{6}$, $x$軸

求める面積は、

$$\int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos x dx = \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{6}} = \sin \frac{\pi}{6} - \sin 0 = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$$

(5) $y = x(x-2)^2$, $x$軸

まず、$y = x(x-2)^2 = x(x^2 - 4x + 4) = x^3 - 4x^2 + 4x$ より、$y=0$ となるのは $x=0, 2$です。

$0 \le x \le 2$ において、$y \ge 0$ なので、求める面積は、

$$\int_0^2 x(x-2)^2 dx = \int_0^2 (x^3 - 4x^2 + 4x) dx = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x^2 \right]_0^2 = \frac{16}{4} - \frac{32}{3} + 8 = 4 - \frac{32}{3} + 8 = 12 - \frac{32}{3} = \frac{36-32}{3} = \frac{4}{3}$$

(6) $y = \tan x$, $x=\frac{\pi}{3}$, $x$軸

$\tan x$ と $x$軸で囲まれた面積は、 $x=0$ から $x=\frac{\pi}{3}$ まで積分すれば良い。

$$\int_0^{\frac{\pi}{3}} \tan x dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x}{\cos x} dx = \left[ -\log |\cos x| \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = -\log |\cos \frac{\pi}{3}| - (-\log |\cos 0|) = -\log \frac{1}{2} + \log 1 = -\log \frac{1}{2} + 0 = \log 2$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{4}{3}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) $e^2 - \frac{1}{e}$

(4) $\frac{1}{2}$

(5) $\frac{4}{3}$

(6) $\log 2$