(1) 不等式 $4 \log_4 x \le \log_2 (4-x) + 1$ を解く。 (2) (1)で求めた $x$ の範囲において、関数 $y = 9^x - 4 \cdot 3^x + 10$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $4 \log_4 x \le \log_2 (4-x) + 1$ を解く。

(2) (1)で求めた $x$ の範囲において、関数 $y = 9^x - 4 \cdot 3^x + 10$ の最大値、最小値とそのときの $x$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、真数条件より $x > 0$ かつ $4 - x > 0$ であるから、$0 < x < 4$ である。

次に、不等式を解く。

底を2に揃えるために、$\log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2}$を用いる。

与えられた不等式は

$4 \cdot \frac{\log_2 x}{2} \le \log_2 (4-x) + 1$

$2 \log_2 x \le \log_2 (4-x) + 1$

$\log_2 x^2 \le \log_2 (4-x) + \log_2 2$

$\log_2 x^2 \le \log_2 2(4-x)$

$\log_2 x^2 \le \log_2 (8-2x)$

底2は1より大きいので、

$x^2 \le 8 - 2x$

$x^2 + 2x - 8 \le 0$

$(x+4)(x-2) \le 0$

$-4 \le x \le 2$

真数条件 $0 < x < 4$ と $-4 \le x \le 2$ より、$0 < x \le 2$

(2) $3^x = t$ とおく。$0 < x \le 2$ より、$3^0 < t \le 3^2$ すなわち $1 < t \le 9$ である。

$y = 9^x - 4 \cdot 3^x + 10 = (3^x)^2 - 4 \cdot 3^x + 10 = t^2 - 4t + 10$

$y = (t-2)^2 + 6$

$y$ は $t=2$ で最小値 6 をとる。このとき、$3^x = 2$ より、$x = \log_3 2$ である。

$t=9$ で最大値をとる。$y = (9-2)^2 + 6 = 49 + 6 = 55$

このとき、$3^x = 9$ より、$x=2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $0 < x \le 2$

(2) 最大値 55 ($x = 2$ のとき), 最小値 6 ($x = \log_3 2$ のとき)