$0 \leq x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{2}$ を解く。

1. 問題の内容

$0 \leq x < 2\pi$ のとき、方程式 $\sqrt{3}\sin x - \cos x = \sqrt{2}$ を解く。

2. 解き方の手順

左辺を三角関数の合成を用いて変形する。

$\sqrt{3}\sin x - \cos x = R \sin(x + \alpha)$とおくと、

$R\cos \alpha = \sqrt{3}$

$R\sin \alpha = 1$

よって、

$R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$R > 0$ より、$R = 2$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin \alpha = \frac{1}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

元の式は、

$2\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \sqrt{2}$

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \leq x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \leq x + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる $\theta$ は、

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

つまり、

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - 2\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$

$x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$

3. 最終的な答え

$x = \frac{\pi}{12}, \frac{7\pi}{12}$