背理法を用いて、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

背理法を用いて、$\sqrt{3}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いるため、まず $\sqrt{3}$ が有理数であると仮定する。

有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $m, n$ ($n \neq 0$) を用いて $\sqrt{3} = \frac{m}{n}$ と表すことができる。

$\sqrt{3} = \frac{m}{n}$

両辺を2乗すると、

$3 = \frac{m^2}{n^2}$

$3n^2 = m^2$

この式から、$m^2$ は3の倍数であることがわかる。

したがって、$m$ も3の倍数である。

$m$ が3の倍数なので、$m = 3k$ ( $k$ は整数) と表すことができる。

これを $3n^2 = m^2$ に代入すると、

$3n^2 = (3k)^2$

$3n^2 = 9k^2$

$n^2 = 3k^2$

この式から、$n^2$ は3の倍数であることがわかる。

したがって、$n$ も3の倍数である。

ここで、$m$ も $n$ も3の倍数であるという結果が得られた。

これは、$m$ と $n$ が互いに素であるという仮定に矛盾する。

したがって、$\sqrt{3}$ が有理数であるという仮定が誤りである。

したがって、$\sqrt{3}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3}$ は無理数である。