問題は、2つの合同式の逆数を求める問題です。 (1) $5 \pmod{13}$ の逆数を求める。 (2) $5 \pmod{23}$ の逆数を求める。

1. 問題の内容

問題は、2つの合同式の逆数を求める問題です。

(1) $5 \pmod{13}$ の逆数を求める。

(2) $5 \pmod{23}$ の逆数を求める。

2. 解き方の手順

合同式の逆数とは、$a \cdot x \equiv 1 \pmod{m}$ となる $x$ のことです。

つまり、$ax$ を $m$ で割った余りが $1$ になるような $x$ を見つけます。

これを満たす $x$ を $a^{-1} \pmod{m}$ と表します。

(1) $5 \pmod{13}$ の逆数を求める。

$5x \equiv 1 \pmod{13}$ となる $x$ を探します。

$5 \times 1 = 5 \pmod{13}$

$5 \times 2 = 10 \pmod{13}$

$5 \times 3 = 15 \equiv 2 \pmod{13}$

$5 \times 4 = 20 \equiv 7 \pmod{13}$

$5 \times 5 = 25 \equiv 12 \pmod{13}$

$5 \times 6 = 30 \equiv 4 \pmod{13}$

$5 \times 7 = 35 \equiv 9 \pmod{13}$

$5 \times 8 = 40 \equiv 1 \pmod{13}$

したがって、$x \equiv 8 \pmod{13}$ となります。

(2) $5 \pmod{23}$ の逆数を求める。

$5x \equiv 1 \pmod{23}$ となる $x$ を探します。

$5 \times 1 = 5 \pmod{23}$

$5 \times 2 = 10 \pmod{23}$

$5 \times 3 = 15 \pmod{23}$

$5 \times 4 = 20 \pmod{23}$

$5 \times 5 = 25 \equiv 2 \pmod{23}$

$5 \times 6 = 30 \equiv 7 \pmod{23}$

$5 \times 7 = 35 \equiv 12 \pmod{23}$

$5 \times 8 = 40 \equiv 17 \pmod{23}$

$5 \times 9 = 45 \equiv 22 \equiv -1 \pmod{23}$

$5 \times 10 = 50 \equiv 4 \pmod{23}$

$5 \times 9 \equiv -1 \pmod{23}$ なので、$5 \times (-9) \equiv 1 \pmod{23}$です。

$-9 \equiv 14 \pmod{23}$ なので、$5 \times 14 \equiv 1 \pmod{23}$です。

したがって、$x \equiv 14 \pmod{23}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $5 \pmod{13}$ の逆数は $8$

(2) $5 \pmod{23}$ の逆数は $14$