分母に根号を含む分数 $\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ を有理化する問題です。

1. 問題の内容

分母に根号を含む分数 $\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役な複素数 $\sqrt{5}+\sqrt{2}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

$= \frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})}$

分母は $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用して計算します。

$(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3$

したがって、

$\frac{6(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{3} = \frac{6}{3}(\sqrt{5}+\sqrt{2}) = 2(\sqrt{5}+\sqrt{2})$

$= 2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$2\sqrt{5} + 2\sqrt{2}$