多項式 $x^3 + 2x^2 - x - 1$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $4x-3$ である。このとき、多項式 $B$ を求める。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + 2x^2 - x - 1$ を多項式 $B$ で割ると、商が $x-1$、余りが $4x-3$ である。このとき、多項式 $B$ を求める。

2. 解き方の手順

多項式の割り算の基本の関係式は、

$$\text{割られる式} = \text{割る式} \times \text{商} + \text{余り}$$

である。

この問題では、

$$x^3 + 2x^2 - x - 1 = B \times (x-1) + (4x - 3)$$

が成り立つ。

$B \times (x-1)$ を左辺に残すように変形すると、

$$B \times (x-1) = (x^3 + 2x^2 - x - 1) - (4x - 3)$$

$$B \times (x-1) = x^3 + 2x^2 - x - 1 - 4x + 3$$

$$B \times (x-1) = x^3 + 2x^2 - 5x + 2$$

両辺を $x-1$ で割ると、$B$ が求まる。

$$B = \frac{x^3 + 2x^2 - 5x + 2}{x - 1}$$

多項式の割り算を実行する。

```

x^2 + 3x - 2

x - 1 | x^3 + 2x^2 - 5x + 2

x^3 - x^2

-----------------

3x^2 - 5x

3x^2 - 3x

-----------------

-2x + 2

-2x + 2

-----------------

0

```

したがって、

$$B = x^2 + 3x - 2$$

3. 最終的な答え

$B = x^2 + 3x - 2$