与えられた条件 $g(0) = 6$ $g'(0) = 5$ $g''(0) = 0$ $g'''(0) = -6$ $g^{(4)}(0) = 72$ を満たす4次の多項式 $g(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた条件

$g(0) = 6$

$g'(0) = 5$

$g''(0) = 0$

$g'''(0) = -6$

$g^{(4)}(0) = 72$

を満たす4次の多項式 $g(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

4次の多項式 $g(x)$ を次のように表す。

$g(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

このとき、$g(x)$ の各階微分は次のようになる。

$g'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$

$g''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c$

$g'''(x) = 24ax + 6b$

$g^{(4)}(x) = 24a$

与えられた条件から、

$g(0) = e = 6$

$g'(0) = d = 5$

$g''(0) = 2c = 0$

$g'''(0) = 6b = -6$

$g^{(4)}(0) = 24a = 72$

これらの式から、$a, b, c, d, e$ を求める。

$e = 6$

$d = 5$

$c = 0$

$b = -1$

$a = 3$

したがって、$g(x)$ は

$g(x) = 3x^4 - x^3 + 5x + 6$

3. 最終的な答え

$g(x) = 3x^4 - x^3 + 5x + 6$