多項式 $x^3 + kx^2 - 3$ を $x+2$ で割った余りが1となるように、定数 $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

多項式 $x^3 + kx^2 - 3$ を $x+2$ で割った余りが1となるように、定数 $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

剰余の定理を用いる。剰余の定理とは、多項式 $P(x)$ を $x-a$ で割ったときの余りは $P(a)$ であるというものである。

この問題では、多項式 $P(x) = x^3 + kx^2 - 3$ を $x+2$ で割った余りが1であるから、$P(-2) = 1$ が成り立つ。

したがって、$x = -2$ を $P(x)$ に代入すると、

$P(-2) = (-2)^3 + k(-2)^2 - 3 = -8 + 4k - 3 = 4k - 11$

$P(-2) = 1$ より

$4k - 11 = 1$

$4k = 12$

$k = 3$

3. 最終的な答え

$k = 3$