次の和を求めよ。 $1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + n(2n-1)$

1. 問題の内容

次の和を求めよ。

$1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 5 + \dots + n(2n-1)$

2. 解き方の手順

求める和を$S$とおくと、

$S = \sum_{k=1}^{n} k(2k-1)$

となる。

この式を展開すると、

$S = \sum_{k=1}^{n} (2k^2 - k)$

となる。

$\sum$ の性質より、

$S = 2\sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} k$

となる。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ と $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ を用いると、

$S = 2 \cdot \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) - \frac{1}{2} n(n+1)$

$S = \frac{1}{3} n(n+1)(2n+1) - \frac{1}{2} n(n+1)$

$S = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{6}$

$S = \frac{n(n+1)(2(2n+1)-3)}{6}$

$S = \frac{n(n+1)(4n+2-3)}{6}$

$S = \frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(4n-1)}{6}$