放物線 $y = x^2 - 2$ と直線 $y = 3x - a$ が接するときの定数 $a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2$ と直線 $y = 3x - a$ が接するときの定数 $a$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

放物線と直線が接するということは、それらの交点における $x$ 座標がただ一つ存在することを意味します。したがって、$y$ を消去して得られる $x$ の二次方程式が重解を持つ条件を考えます。

まず、$y = x^2 - 2$ と $y = 3x - a$ を連立させます。

$x^2 - 2 = 3x - a$

この式を整理して、$x$ の二次方程式を作ります。

$x^2 - 3x + (a - 2) = 0$

この二次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $0$ となることです。判別式 $D$ は以下のように表されます。

$D = (-3)^2 - 4(1)(a - 2) = 9 - 4a + 8 = 17 - 4a$

$D = 0$ より、

$17 - 4a = 0$

$4a = 17$

$a = \frac{17}{4}$

したがって、$a = \frac{17}{4}$ のとき、与えられた放物線と直線は接します。

次に、接点の $x$ 座標を求めます。重解を持つときの $x$ の値は、二次方程式の解の公式から $\frac{-b}{2a}$ で与えられます。この場合、$x = \frac{-(-3)}{2(1)} = \frac{3}{2}$ です。

接点の $y$ 座標は、$y = x^2 - 2$ または $y = 3x - a$ に $x = \frac{3}{2}$ を代入して求めます。$y = 3x - a$ に代入すると、

$y = 3(\frac{3}{2}) - \frac{17}{4} = \frac{9}{2} - \frac{17}{4} = \frac{18}{4} - \frac{17}{4} = \frac{1}{4}$

したがって、接点の座標は $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$ です。

3. 最終的な答え

$a = \frac{17}{4}$

接点の座標: $(\frac{3}{2}, \frac{1}{4})$