30円切手と50円切手を何枚か買い、500円支払ったところ、おつりが40円であった。30円切手を$x$枚、50円切手を$y$枚として、連立方程式を作り、それぞれの枚数を求めよ。 (1) 下線部を式で表すと$30x + 50y = 500 - 40$となる。等式が成り立つ$x, y$の値の組を3組書きなさい。 (2) 切手の買い方が1通りとなるように、当てはまる条件を考えて文で表し、連立方程式を完成させなさい。

1. 問題の内容

30円切手と50円切手を何枚か買い、500円支払ったところ、おつりが40円であった。30円切手を$x$枚、50円切手を$y$枚として、連立方程式を作り、それぞれの枚数を求めよ。

(1) 下線部を式で表すと$30x + 50y = 500 - 40$となる。等式が成り立つ$x, y$の値の組を3組書きなさい。

(2) 切手の買い方が1通りとなるように、当てはまる条件を考えて文で表し、連立方程式を完成させなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、$30x + 50y = 500 - 40$を整理する。

$30x + 50y = 460$

両辺を10で割ると、

$3x + 5y = 46$

この式を満たす整数解$(x, y)$を3組見つける。$x$と$y$は切手の枚数なので、0以上の整数である必要がある。

* $y = 1$のとき、$3x = 46 - 5 = 41$。$x$は整数にならない。

* $y = 2$のとき、$3x = 46 - 10 = 36$。$x = 12$。よって、$(x, y) = (12, 2)$。

* $y = 3$のとき、$3x = 46 - 15 = 31$。$x$は整数にならない。

* $y = 4$のとき、$3x = 46 - 20 = 26$。$x$は整数にならない。

* $y = 5$のとき、$3x = 46 - 25 = 21$。$x = 7$。よって、$(x, y) = (7, 5)$。

* $y = 6$のとき、$3x = 46 - 30 = 16$。$x$は整数にならない。

* $y = 7$のとき、$3x = 46 - 35 = 11$。$x$は整数にならない。

* $y = 8$のとき、$3x = 46 - 40 = 6$。$x = 2$。よって、$(x, y) = (2, 8)$。

* $y = 9$のとき、$3x = 46 - 45 = 1$。$x$は整数にならない。

よって、(12, 2), (7, 5), (2, 8)などが解となる。

(2) 切手の買い方が1通りとなるためには、30円切手と50円切手の合計枚数が10枚であることが必要である。なぜなら、おつりが40円なので、500円から40円を引いた460円が、30円切手と50円切手の合計金額となる。そして、切手の合計枚数を10枚とした場合、30円切手の枚数が$x$枚だとすると、50円切手の枚数は$10-x$枚となる。これにより、30円切手と50円切手の合計金額が460円という条件と合わせて、解が一つに定まる。

連立方程式は次のようになる。

$30x + 50y = 500 - 40$

$x + y = 10$

3. 最終的な答え

(1) (12, 2), (7, 5), (2, 8)

(2) 30円切手と50円切手の合計枚数は10枚である。

$30x + 50y = 500 - 40$

$x + y = 10$