与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k)$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k)$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、シグマ記号の線形性を使って、和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} 3k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

次に、定数倍の性質を使って、最初のシグマから3をくくり出します。

$\sum_{k=1}^{n} 3k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を使います。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

これらの公式を代入します。

$3 \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

式を整理します。

$3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}$

共通因子$\frac{n(n+1)}{2}$でくくります。

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)}{2} (2n+1 + 1)$

さらに整理します。

$\frac{n(n+1)}{2} (2n+1 + 1) = \frac{n(n+1)}{2} (2n+2) = \frac{n(n+1)}{2} \cdot 2(n+1) = n(n+1)(n+1) = n(n+1)^2$

3. 最終的な答え

$n(n+1)^2$