与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 3k(k-1)$ を計算する必要があります。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 3k(k-1)$ を計算する必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$3k(k-1)$ を展開します。

$3k(k-1) = 3k^2 - 3k$

次に、シグマの性質を使って、和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} 3k(k-1) = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - 3k) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ はそれぞれ公式を使って計算できます。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を代入します。

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k = 3\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3\frac{n(n+1)}{2}$

式を整理します。

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} - \frac{3n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 3n(n+1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1-3)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n-2)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(n-1)}{2}$

$= n(n+1)(n-1)$

$= n(n^2 - 1)$

$= n^3 - n$

3. 最終的な答え

$n^3 - n$