実数 $a, b$ に対して、以下の2つの条件 $p$ と $q$ が同値であることを証明する問題です。 $p: a < 2$ かつ $b < 3$ $q: a+b < 5$ かつ $(a-2)(b-3) > 0$

1. 問題の内容

実数 $a, b$ に対して、以下の2つの条件 $p$ と $q$ が同値であることを証明する問題です。

$p: a < 2$ かつ $b < 3$

$q: a+b < 5$ かつ $(a-2)(b-3) > 0$

2. 解き方の手順

まず、$p \Rightarrow q$ を示す。

$p$ が成り立つと仮定すると、$a < 2$ かつ $b < 3$ である。

$a+b < 2+3 = 5$ より、$a+b < 5$ が成り立つ。

また、$a < 2$ より $a-2 < 0$ であり、$b < 3$ より $b-3 < 0$ である。

よって、$(a-2)(b-3) > 0$ が成り立つ。

したがって、$p \Rightarrow q$ が示された。

次に、$q \Rightarrow p$ を示す。

$q$ が成り立つと仮定すると、$a+b < 5$ かつ $(a-2)(b-3) > 0$ である。

$(a-2)(b-3) > 0$ より、以下の2つの場合が考えられる。

(i) $a-2 > 0$ かつ $b-3 > 0$ の場合：

このとき、$a > 2$ かつ $b > 3$ である。

したがって、$a+b > 2+3 = 5$ となり、$a+b > 5$ となるが、$q$ の仮定より $a+b < 5$ であるので、矛盾。

(ii) $a-2 < 0$ かつ $b-3 < 0$ の場合：

このとき、$a < 2$ かつ $b < 3$ である。これは $p$ の条件そのものである。

したがって、$q \Rightarrow p$ が示された。

以上より、$p \Leftrightarrow q$ が示された。

3. 最終的な答え

条件 $p$ と $q$ は同値である。