問題1-1：$a, b$は実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $1-3i$ を解にもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。 問題1-2：問1-1のとき、定数 $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題1-1：$a, b$は実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ が $1-3i$ を解にもつとき、定数 $a$ の値を求めよ。

問題1-2：問1-1のとき、定数 $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1-1：

3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx - 20 = 0$ の係数 $a, b$ は実数であるから、$1-3i$ が解ならば、共役複素数である $1+3i$ も解である。

したがって、この3次方程式は $(x - (1-3i))(x - (1+3i))$ を因数にもつ。

$(x - (1-3i))(x - (1+3i)) = (x-1+3i)(x-1-3i) = (x-1)^2 - (3i)^2 = x^2 - 2x + 1 - (-9) = x^2 - 2x + 10$

したがって、$x^3 + ax^2 + bx - 20 = (x^2 - 2x + 10)(x+c)$ と書ける。

右辺を展開すると、

$(x^2 - 2x + 10)(x+c) = x^3 + cx^2 - 2x^2 - 2cx + 10x + 10c = x^3 + (c-2)x^2 + (10-2c)x + 10c$

これが $x^3 + ax^2 + bx - 20$ と一致するので、

$c-2 = a$

$10-2c = b$

$10c = -20$

よって、$c = -2$

$a = c-2 = -2-2 = -4$

$b = 10 - 2c = 10 - 2(-2) = 10 + 4 = 14$

問題1-2：

問題1-1より、$a = -4$ である。

$b = 14$

3. 最終的な答え

問題1-1：$a = -4$

問題1-2：$b = 14$