不等式 $|x+3| \leq 2a$ について、以下の問題を解く。 * 不等式の解を $a$ を用いて表す。 * $a=2$ のとき、不等式を満たす整数 $x$ の個数 $N$ を求める。 * $a$ が 3, 4, 5,... と増加するとき、$N$ が初めて初期値の2倍以上になる $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

不等式 $|x+3| \leq 2a$ について、以下の問題を解く。

* 不等式の解を $a$ を用いて表す。

* $a=2$ のとき、不等式を満たす整数 $x$ の個数 $N$ を求める。

* $a$ が 3, 4, 5,... と増加するとき、$N$ が初めて初期値の2倍以上になる $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $|x+3| \leq 2a$ を解く。

絶対値の不等式より、$-2a \leq x+3 \leq 2a$。

各辺から3を引くと、

$-2a - 3 \leq x \leq 2a - 3$

したがって、エオ は -2, カは $-2a-3$, キは $2a-3$となる。

(2) $a=2$ のとき、不等式は $-2(2)-3 \leq x \leq 2(2)-3$ となるので、

$-4-3 \leq x \leq 4-3$

$-7 \leq x \leq 1$

この範囲の整数 $x$ の個数 $N$ は $1 - (-7) + 1 = 1 + 7 + 1 = 9$ である。

したがって、ケは9となる。

(3) $a$ が 3, 4, 5,... と増加するとき、$N$ が初めて初期値9の2倍以上、つまり $N \geq 18$ となる $a$ の値を求める。

整数 $x$ の個数 $N$ は $(2a-3) - (-2a-3) + 1 = 2a - 3 + 2a + 3 + 1 = 4a + 1$ である。

$N = 4a+1 \geq 18$ となる最小の $a$ を求める。

$4a+1 \geq 18$

$4a \geq 17$

$a \geq \frac{17}{4} = 4.25$

$a$ は整数なので、$a=5$ のとき、

$N = 4(5)+1 = 21 \geq 18$ となる。

したがって、$a=5$のとき、$N$ が初めて初期値の2倍以上になる。

3. 最終的な答え

エオ：-2

カ：$-2a-3$

キ：$2a-3$

ク：3

ケ：9

コ：5