定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最小値 $m$ と最大値 $M$ を求める。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = x^2 - 4x + 1$ の区間 $a \le x \le a+1$ における最小値 $m$ と最大値 $M$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 最小値 $m$ を求める。

まず、与えられた関数 $y = x^2 - 4x + 1$ を平方完成する。

$y = (x - 2)^2 - 3$

このグラフは、頂点が $(2, -3)$ の下に凸な放物線である。

区間 $a \le x \le a+1$ における最小値を考える。

(i) $a+1 < 2$ つまり $a < 1$ のとき

区間内で $x$ が増加すると $y$ は減少するので、区間の右端 $x=a+1$ で最小値をとる。

$m = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 + 2a + 1 - 4a - 4 + 1 = a^2 - 2a - 2$

(ii) $a \le 2 \le a+1$ つまり $1 \le a \le 2$ のとき

頂点の $x$ 座標 $x=2$ が区間内にあるので、頂点で最小値をとる。

$m = -3$

(iii) $a > 2$ のとき

区間内で $x$ が増加すると $y$ は増加するので、区間の左端 $x=a$ で最小値をとる。

$m = a^2 - 4a + 1$

(2) 最大値 $M$ を求める。

区間 $a \le x \le a+1$ の中央の $x$ 座標は $x = a + \frac{1}{2}$ である。軸 $x = 2$ から遠い方の端点で最大値をとる。

(i) $a+1 < 2$ つまり $a < 1$ のとき、$a+1$ の方が軸から近い。$x=a$ で最大値をとる。

$M = a^2 - 4a + 1$

(ii) $a > 2$ のとき、$a$ の方が軸から近い。$x=a+1$ で最大値をとる。

$M = (a+1)^2 - 4(a+1) + 1 = a^2 - 2a - 2$

(iii) $a= \frac{3}{2}$ のとき、$x=a$ と $x=a+1$ のどちらが軸から遠いかを調べる。$|a-2| = |3/2 - 2| = 1/2$, $|a+1-2|=|5/2-2|=1/2$. 区間の中央 $x=a+1/2$ が $x=2$ つまり軸と一致する。したがって $a+1/2 = 2$ つまり $a=3/2$.

したがって $a=3/2$ を境に場合分けをする。

$|a-2| < |a+1-2|$ のとき, $a-2 < -(a+1-2)$.

$a < (3/2)$.

$|a-2| > |a+1-2|$ のとき, $a > 3/2$

(iii-a) $a \le \frac{3}{2}$ のとき $x = a+1$ で最大値をとる。

$M = a^2 - 2a - 2$

(iii-b) $a \ge \frac{3}{2}$ のとき $x = a$ で最大値をとる。

$M = a^2 - 4a + 1$

(1)と(2)の結果をまとめます。

3. 最終的な答え

(1) 最小値 $m$

$a < 1$ のとき $m = a^2 - 2a - 2$

$1 \le a \le 2$ のとき $m = -3$

$a > 2$ のとき $m = a^2 - 4a + 1$

(2) 最大値 $M$

$a \le \frac{3}{2}$ のとき $M = a^2 - 2a - 2$

$a > \frac{3}{2}$ のとき $M = a^2 - 4a + 1$