$\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = 8$, $AC = 7$ であるとする。 (1) 辺 $AC$ 上に点 $D$ を $AD = 3$ となるようにとり、$\triangle ABD$ の外接円と直線 $BC$ の交点で $B$ と異なるものを $E$ とする。このとき、$BC \cdot CE$ を求め、それから $CE$ を求める。さらに、直線 $AB$ と直線 $DE$ の交点を $F$ とするとき、$\frac{BF}{AF}$ を求め、それから $AF$ を求める。 (2) $\angle ABC$ を求め、$\triangle ABC$ の内接円の半径を求める。$\triangle ABC$ の内心を $I$ とするとき、$BI$ を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$AB = 3$, $BC = 8$, $AC = 7$ であるとする。

(1) 辺 $AC$ 上に点 $D$ を $AD = 3$ となるようにとり、$\triangle ABD$ の外接円と直線 $BC$ の交点で $B$ と異なるものを $E$ とする。このとき、$BC \cdot CE$ を求め、それから $CE$ を求める。さらに、直線 $AB$ と直線 $DE$ の交点を $F$ とするとき、$\frac{BF}{AF}$ を求め、それから $AF$ を求める。

(2) $\angle ABC$ を求め、$\triangle ABC$ の内接円の半径を求める。$\triangle ABC$ の内心を $I$ とするとき、$BI$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

方べきの定理より、$BC \cdot CE = AC \cdot CD$ が成り立つ。

$CD = AC - AD = 7 - 3 = 4$ より、$BC \cdot CE = 7 \cdot 4 = 28$。

よって、アイは 28。

$CE = \frac{28}{BC} = \frac{28}{8} = \frac{7}{2}$。

よって、ウは7、エは2。

メネラウスの定理より、

$\frac{AD}{DC} \cdot \frac{CE}{EB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$。

$AD = 3, DC = 4, CE = \frac{7}{2}, EB = BC + CE = 8 + \frac{7}{2} = \frac{23}{2}$ より、

$\frac{3}{4} \cdot \frac{\frac{7}{2}}{\frac{23}{2}} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{3}{4} \cdot \frac{7}{23} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$

$\frac{BF}{FA} = \frac{4}{3} \cdot \frac{23}{7} = \frac{92}{21}$。

よって、オカは92、キは21。

$\frac{AF}{AB} = \frac{21}{92+21} = \frac{21}{113}$

$AF = AB \cdot \frac{21}{113} = 3 \cdot \frac{21}{113} = \frac{63}{113}$

よって、クケは63、コは113。

(2)

余弦定理より、

$\cos \angle ABC = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{3^2 + 8^2 - 7^2}{2 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{9 + 64 - 49}{48} = \frac{24}{48} = \frac{1}{2}$

よって、$\angle ABC = 60^{\circ}$。

よって、サシは60。

$\triangle ABC$ の面積を $S$ とすると、$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \sin \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \sin 60^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3}$。

$\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると、$S = \frac{1}{2} r (AB + BC + AC) = \frac{1}{2} r (3 + 8 + 7) = \frac{1}{2} r \cdot 18 = 9r$。

よって、$9r = 6 \sqrt{3}$ より、$r = \frac{6 \sqrt{3}}{9} = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$。

よって、スは2、セは3、ソは3。

$\angle ABI = \frac{1}{2} \angle ABC = 30^{\circ}$。

$\frac{r}{BI} = \sin \angle ABI = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$

$BI = 2r = 2 \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$。

よって、タは4、チは3、ツは3。

3. 最終的な答え

アイ：28

ウ：7

エ：2

オカ：92

キ：21

クケ：63

コ：113

サシ：60

ス：2

セ：3

ソ：3

タ：4

チ：3

ツ：3