長方形ABCDにおいて、AB = 5cm, BC = 9cm。辺AB上にBE = 3cmとなる点Eをとる。頂点CがEに重なるように折ったときの折れ線をPQとし、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。 (1) BPの長さを求めよ。 (2) AG:GQ:QDの比を求めよ。 (3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

## 解答

1. 問題の内容

長方形ABCDにおいて、AB = 5cm, BC = 9cm。辺AB上にBE = 3cmとなる点Eをとる。頂点CがEに重なるように折ったときの折れ線をPQとし、頂点Dが移った点をFとする。EFとAQの交点をGとする。

(1) BPの長さを求めよ。

(2) AG:GQ:QDの比を求めよ。

(3) 四角形EPQGの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BPの長さ

CP = EPであり、BC = 9cmなので、BP = $x$とすると、EP = CP = 9 - $x$。

直角三角形EBPにおいて三平方の定理より、$EB^2 + BP^2 = EP^2$が成り立つ。

$3^2 + x^2 = (9-x)^2$

$9 + x^2 = 81 - 18x + x^2$

$18x = 72$

$x = 4$

(2) AG:GQ:QDの比を求める。

まず、AEの長さを求める。AE = AB - BE = 5cm - 3cm = 2cm

$\triangle AEQ$と$\triangle FCQ$において、

$\angle AEQ = \angle FCQ = 90^\circ$

$\angle AQE = \angle FQC$ (対頂角)

よって、$\triangle AEQ \sim \triangle FCQ$

したがって、$AE:FC = AQ:FQ$

$FC = DC = 9cm$なので、$AE:FC = 2:9$

$AQ:FQ = 2:9$

したがって、$AQ:AD = 2:11$

$AQ = \frac{2}{11}AD = \frac{2}{11} \times 9 = \frac{18}{11}$

$DQ = AD - AQ = 9 - \frac{18}{11} = \frac{99-18}{11} = \frac{81}{11}$

次に、$\triangle AEG$と$\triangle QEG$について考える。

$\angle EAG = \angle EQG = 90^\circ$

$\angle AEG = \angle QEG$

よって、$\triangle AEG \sim \triangle FEG$

$\frac{AE}{FC} = \frac{AG}{GQ} = \frac{2}{9}$

したがって、$AG:GQ = 2:9$

$AG:AQ = 2:11$

$AG = \frac{2}{11}AQ = \frac{2}{11} \times \frac{18}{11} = \frac{36}{121}$

$GQ = \frac{9}{11}AQ = \frac{9}{11} \times \frac{18}{11} = \frac{162}{121}$

したがって、$AG:GQ:QD = \frac{36}{121}:\frac{162}{121}:\frac{81}{11} = 36:162:891 = 4:18:99$

(3) 四角形EPQGの面積を求める。

台形ABPQの面積 = $\frac{1}{2} (AP+BQ) \times AB = \frac{1}{2} (AE + BE + PQ + PQ)*AB$

$\triangle AEQ = \frac{1}{2} \times AE \times EQ = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{ (\frac{18}{11})^2 - 2^2}$

$\triangle AEG = \frac{1}{2} \times AE \times EG$

3. 最終的な答え

(1) BPの長さ: 4cm

(2) AG:GQ:QD = 4:18:99

(3) 四角形EPQGの面積: 未解答