与えられた指数方程式 $2^{2x+1} - 2^{x+3} - 64 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた指数方程式 $2^{2x+1} - 2^{x+3} - 64 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、指数法則を用いて式を整理します。

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x$

したがって、与えられた方程式は

$2 \cdot (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x - 64 = 0$

となります。

ここで、$t = 2^x$ とおくと、方程式は

$2t^2 - 8t - 64 = 0$

となります。両辺を2で割ると

$t^2 - 4t - 32 = 0$

これを因数分解すると

$(t-8)(t+4) = 0$

したがって、$t = 8$ または $t = -4$ となります。

$t = 2^x$ であり、$2^x > 0$ であるため、$t = -4$ は解として不適です。

したがって、$t = 8$ となり、$2^x = 8$ となります。

$8 = 2^3$ であるから、$2^x = 2^3$ となり、したがって $x = 3$ が解となります。

3. 最終的な答え

$x = 3$